1. Канонічне рівняння еліпсаВиберемо прямокутну декартову систему координат так, щоб фокуси , еліпса були розташовані на осі абсцис симетрично відносно початку координат і нехай вони мають відповідно координати та . Розглянемо довільну еліпса і знайдемо рівняння еліпса. Згідно з означенням еліпса,.(1) Зрозуміло, що еліпс існує лише при умові, що , тобто.(2) , . ,або ..
..
Оскільки , то можна позначити ,(3).
Поділивши обидві частини на дістаємо канонічне рівняння еліпса. (4)
3. Ексцентриситет еліпса. Ексцентриситетом називається величина. (5)Оскільки , то . При . Звідси, завдяки (3), ,еліпс переходить у коло. Якщо ж , то , тому ,еліпс сплющується до відрізка . Таким чином, ексцентриситет характеризує ступінь сплющеності еліпса.Покажемо, що еліпс можна отримати рівномірним стиском кола. Нехай коло радіуса задано рівнянням , або.(6)
Виконаємо рівномірний стиск площини вздовж осі в разів. Тоді точка кола перейде в , , , а коло (6) перейде в лінію . позначивши через , отримуємо рівняння еліпса.
.4. Фокальні радіуси еліпса. Для кожної точки еліпса відрізки та називаються її фокальними радіусами. Позначимо через довжину відрізка , а через – довжину відрізка . Знайдемо і . .Звідси,.(7)
.Остаточно,. (8)
5. Директриси еліпса. Дві прямі, перпендикулярні до великої осі еліпса і віддалені від центра еліпса на відстань , називаються директрисами еліпса визначаються рівняннями. (9)
Оскільки , то ,директриси не перетинають еліпса. Фокус і директриса еліпса, розташовані по один бік від малої осі еліпса,так що для фокуса відповідною є директриса , а для фокуса – директриса .Наступна властивість директрис є характеристичною властивістю еліпса.Теорема. Точка лежить на еліпсі тоді і лише тоді, коли відношення відстані цієї точки від фокуса до відстані від відповідної директриси є величина стала і дорівнює ексцентриситету еліпса.Доведення. Нехай точка лежить на еліпсі . (10)Тоді відстань від точки до фокуса обчислюється , а відстань від точки до відповідної директриси – за формулою . Звідси,.Точно так само.Навпаки, нехай – деяка точка площини, для якої , де – відстань від точки до фокуса еліпса (10), а – відстань від точки до відповідної директриси того самого еліпса. Покажемо, що точка лежить на еліпсі (10). як відстань між двома точками. З нормального рівняння директриси дістаємо, що відстань від до цієї директриси дорівнює . Тоді,або . або. , та – такого:. ,
6. Дотична до еліпса. Знайдемо рівняння дотичної до еліпса в точці .m. (11)Кутовий коефіцієнт дотичної до еліпса в точці дорівнює . Знайдемо диференціюванням рівняння (10) еліпса: ,звідки.Зокрема,.
Підставимо в (11) замість його значення :.Звідси, .,остаточно. (12)
1. Канонічне рівняння гіперболи. . (13)Оскільки в трикутнику різниця двох сторін менша від третьої сторони , то для гіперболи , або . Знайдемо та як відстані між двома точками, і підставимо в рівність (13):.Звідси,
,.
..
;.
Оскільки для гіперболи , то , тому .(14)Тоді .
. (15)
3. Асимптоти гіперболи. Завдяки симетрії гіперболи можна обмежитись дослідженням лише тої її частини, яка лежить у першій чверті і визначається рівнянням. (16) Розглянемо пряму. (17)Зведемо її рівняння до нормального вигля (18)
і знайдемо від змінної лінії (16), до прямої (17). Зазначимо, що якщо точка лежить на лінії (16), то вона має координати . Підставивши координати точки в ліву частину рівняння (18), знайдемо .Звідси, при . Це означає, що при необмеженому зростанні частина гіперболи (16) необмежено наближується до прямої (17).Зауважимо, що пряма (19)
симетрична до прямої (17) відносно осей координат. Оскільки гіпербола також симетрична відносно осей координат, то пряма (19) має аналогічну до прямої (17) властивість. Пряміназиваються асимптотами гіперболи.
5. Ексцентриситет...
